Probabilidade
RESUMO
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VÍDEOS
AULAS E FICHAS #ESTUDOEMCASA
EXERCÍCIOS
APRENDIZAGENS ESSENCIAIS
RESUMO | MATEMÁTICA 9º ANO
ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS
PROBABILIDADE
EXPERIÊNCIAS ALEATÓRIAS
› Experiência determinista vs experiência aleatória
- • Experiência determinista:
- ⤷ conseguimos prever/determinar o resultado
⤷ tem apenas um caso possível
- ⤷ ex.: colocar açúcar num copo com água → o açúcar dissolve-se na água
- • Experiência aleatória:
- ⤷ depende da sorte e do acaso
⤷ tem um conjunto de casos possíveis (universo de resultados/espaço amostral/Ω)
- ⤷ # Ω→ número de casos possíveis
- ⤷ ex.: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → # Ω = 6
› Acontecimentos de uma experiência aleatória
- • Acontecimento:
- ⤷ subconjunto do universo de resultados
⤷ pode-se representar em compreensão ou em extensão
- • Casos favoráveis:
- ⤷ elementos de um acontecimento
⤷ # A→ número de casos favoráveis a A
ver exemplo
Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Acontecimento A: “sair face com número par” → representado em compreensão
Acontecimento A = {2,4,6} → representado em extensão
Casos favoráveis ao acontecimento A = {2, 4, 6}
#A = 3
» Classificação de acontecimentos
- • Acontecimento elementar:
- ⤷ constituído por um só elemento do universo de resultados
- • Acontecimento composto:
- ⤷ constituído por dois ou mais elementos do universo de resultados
- • Acontecimento certo:
- ⤷ constituído por todos os elementos do universo de resultados
- • Acontecimento impossível:
- ⤷ não contém qualquer elemento do universo de resultados
ver exemplo
Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: “sair face com múltiplo de 5” = {5} → acontecimento elementar
B: “sair face com número par” = {2,4,6} → acontecimento composto
C: “sair face com número natural” = {1,2,3,4,5,6} = Ω → acontecimento certo
D: “sair face com número negativo” = Ø → acontecimento impossível
» Reunião e Interseção de acontecimentos
- • Reunião de acontecimentos:
- ⤷ A U B → constituído pelos resultados que pertencem a pelo menos um dos acontecimentos A ou B
- • Interseção de acontecimentos:
- ⤷ A ∩ B → constituído pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e B
ver exemplo
A = {1, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}
A U B = {1, 2, 4, 5, 6}
A ∩ B = {4, 6}
» Acontecimentos compatíveis e incompatíveis
- • Acontecimentos compatíveis:
- ⤷ têm pelo menos um elemento em comum → P ∩ Q ≠ Ø
- • Acontecimentos incompatíveis (ou disjuntos):
- ⤷ não têm qualquer elemento em comum → P ∩ Q = Ø
⤷ podem ser:- ⤷ complementares (ou contrários):
- ⤷ cuja reunião é igual ao universo de resultados → P ∩ Q = Ø ∧ P U Q = Ω
- ⤷ não complementares:
- ⤷ cuja reunião é diferente do universo de resultados → P ∩ Q = Ø ∧ P U Q ≠ Ω
ver exemplo
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {5}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 5}
A ∩ C = {5} ∩ {1, 3, 5} = {5}
A e C são acontecimentos compatíveis
B ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = Ø
B U C = {2, 4, 6} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
B e C são acontecimentos incompatíveis e complementares
A ∩ B = {5} ∩ {2, 4, 6} = Ø
A U B = {5} U {2, 4, 6} = {2, 4, 5, 6} ≠ Ω
A e B são acontecimentos incompatíveis e não complementares
O contrário de A representa-se por Ᾱ.
ver exemplo
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {5} → Ᾱ = {1, 2, 3, 4, 6}
PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO
› Escala de probabilidades
- • Formas de expressar a probabilidade de um acontecimento:
- ⤷ fração irredutível
⤷ dízima
⤷ percentagem
Sendo que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
0% ≤ P(A) ≤ 100%
ver exemplo
P(A) = \(\frac{1}{2}\) = 0,5 = 50%
Nota:
⤷ acontecimentos com a mesma probabilidade dizem-se equiprováveis.
› Cálculo da probabilidade de um acontecimento
» Lei de Laplace
P(A) = \(\frac{nº casos favoráveis a A}{nº casos possíveis}\)
ver exemplo 1
Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: “sair face com múltiplo de 5” = {5}
# A = 1
# Ω = 6
P(A) = \(\frac{1}{6}\) ≅ 0,167 ≅ 16,7%
ver exemplo 2
Numa turma de 20 alunos, a probabilidade de escolher um aluno ao acaso e ser rapaz é de \(\frac{1}{4}\). Quantos raparigas existem na turma?
P(ser escolhida uma rapariga) = \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{4}=\frac{x}{20}\Leftrightarrow x=\frac{3×20}{4}\Leftrightarrow x=\frac{60}{4}\Leftrightarrow x=15\)
Existem 15 raparigas na turma.
› Esquemas auxiliares de contagem
» De experiências simples
- • Diagrama de Venn
- ⤷ utiliza-se, sobretudo, para contar casos favoráveis de acontecimentos resultantes da reunião ou interseção de dois ou mais acontecimentos de uma experiência com uma só ação
ver exemplo
Experiência: escolher um aluno ao acaso e verificar se teve positiva nas disciplinas de Matemática e de Português
Dados:
⤷ a turma tem 30 alunos
⤷ 2 alunos tiveram negativa nas 2 disciplinas
⤷ 20 alunos tiveram positiva a Português
⤷ 17 alunos tiveram positiva a Matemática
Alunos que tiveram positiva a Português ou a Matemática = 30 – 2 = 28
Alunos que tiveram positiva a Português e Matemática = (20 + 17) – 28 = 37 – 28 = 9
Alunos que tiveram positiva apenas a Português = 20 – 9 = 11
Alunos que tiveram positiva apenas a Matemática = 17 – 9 = 8
![](https://www.obichinhodosaber.com/wp-content/uploads/2021/07/diagrama_em_venn.jpg)
» De experiências compostas
- • Tabela de dupla entrada
- ⤷ utiliza-se em experiências constituídas por duas ações
ver exemplo 1
Experiência: retirar , com reposição, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.
A – azul
B – verde
C – preta
| A | V | P |
A | (A,A) | (A,V) | (A,P) |
V | (V,A) | (V,V) | (V,P) |
P | (P,A) | (P,V) | (P,P) |
Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
# casos favoráveis = 5
# Ω = 9
P = \(\frac{5}{9}\)
ver exemplo 2
Experiência: retirar , sem reposição, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.
A – azul
B – verde
C – preta
| A | V | P |
A | × | (A,V) | (A,P) |
V | (V,A) | × | (V,P) |
P | (P,A) | (P,V) | × |
Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
# casos favoráveis = 4
# Ω = 6
P = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)
ver exemplo 3
Experiência: retirar , em simultâneo, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.
A – azul
B – verde
C – preta
| A | V | P |
A | × | × | × |
V | (V,A) | × | × |
P | (P,A) | (P,V) | × |
Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
# casos favoráveis = 2
# Ω = 3
P = \(\frac{2}{3}\)
- • Diagrama em árvore
- ⤷ utiliza-se em experiências constituídas por duas ou mais ações
ver exemplo 1
Experiência: retirar , sem reposição, três bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.
A – azul
B – verde
C – preta
![](https://www.obichinhodosaber.com/wp-content/uploads/2021/07/diagrama_em_arvore_1.jpg)
Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
# casos favoráveis = 6
# Ω = 6
P = \(\frac{6}{6}\) = 1
ver exemplo 2
Experiência: retirar , sem reposição, duas bolas de um saco que contém três bolas azuis e 7 bolas verdes, e verificar a cor das bolas.
A – azul
B – verde
C – preta
![](https://www.obichinhodosaber.com/wp-content/uploads/2021/07/diagrama_em_arvore_2.jpg)
Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?
P = \(\frac{3}{10}×\frac{2}{9}+\frac{3}{10}×\frac{7}{9}+\frac{7}{10}×\frac{3}{9}\) =
= \(\frac{6}{90}+\frac{21}{90}+\frac{21}{90}\) =
= \(\frac{48}{90}\) =
= \(\frac{8}{15}\)
› Lei dos grandes números (definição frequencista)
Quando se repete um número elevado de repetições de uma experiência, a frequência relativa de um acontecimento tende a aproximar-se do valor da probabilidade desse acontecimento.
Fr(A) ≈ P(A)
Nota:
⤷ quanto maior o número de repetições da experiência, mais próximo vai ser o valor da frequência relativa de um acontecimento em relação à sua probabilidade.
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AULAS E FICHAS #ESTUDOEMCASA
#EstudoEmCasa 2020/2021
Aula 58 | “Experiência aleatória. Conjunto de resultados de uma experiência aleatória. Acontecimentos. Operações com acontecimentos” » ver aula · ficha
Aula 59 | “Probabilidade de um acontecimento. Lei de Laplace” » ver aula · ficha
Aula 60 | “Experiências compostas. Processos de contagem” » ver aula · ficha
Aula 61 | “Experiências compostas. Processos de contagem (2)” » ver aula · ficha
#EstudoEmCasa 2019/2020
Aula 17 | “Ganhas tu ou ganho eu!” » ver aula · ficha
Aula 18 | “Quantos queres?” » ver aula · ficha
APRENDIZAGENS ESSENCIAIS
- Interpretar o conceito de probabilidade de um acontecimento como a frequência relativa da ocorrência desse acontecimento ou recorrendo à regra de Laplace.
- Calcular a probabilidade de um acontecimento associado a uma experiência aleatória e interpretá-la como exprimindo o grau de possibilidade da sua ocorrência.
DOCUMENTOS CURRICULARES DE REFERÊNCIA
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RESUMOS E EXERCÍCIOS
9º ANO | MATEMÁTICA
› Números reais
› Figuras Geométricas
› Áreas e Volumes
› Trigonometria
› Sequências e regularidades
› Equações
› Inequações
› Funções
› Planeamento estatístico e Tratamento de dados
› Probabilidade