Matemática 6º ano | Números naturais: decomposição em fatores primos

NÚMEROS NATURAIS

DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS EM FATORES PRIMOS

Números primos e números compostos

Números compostos

têm mais de dois divisores

Números primos

têm apenas dois divisores (o 1 e eles próprios)

Nota: o número 1 tem apenas um divisor (ele próprio), por isso não é composto nem primo.

Exemplos:

O números 10 e 11 são compostos ou primos?

Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}

O número 10 tem quatro divisores, logo é composto.

Divisores de 11 = {1, 11}

O número 11 tem apenas dois divisores, logo é primo.

Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é um método prático para encontrar números primos.

Por exemplo, para descobrir os números primos até 100:

Escrever numa tabela os números de 1 até 100
Riscar o 1
Riscar todos os múltiplos de 2 maiores que 2 (4, 6, 8,…)
Riscar todos os múltiplos de 3 maiores que 3 (3, 6, 9,…)
Riscar todos os múltiplos de 5 maiores que 5 (5, 10, 15,…)
Riscar todos os múltiplos de 7 maiores que 7 (7, 14, 21,…)

O número 1 não é primo nem é composto e os múltiplos de um número primo são compostos. São esses os números que riscámos da tabela, então os que não foram riscados são os números primos até 100.

Teorema fundamental da aritmética

Dado um número natural superior a 1, existe uma única sequência crescente de números primos cujo produto é igual a esse número.

Exemplo:

90 = 2 × 3 × 3 × 5

Quando temos um fator primo repetido, podemos colocá-lo na forma de potência (com expoente igual ao número de vezes que se repete):

Como 90 = 2 × 3 × 3 × 5

E 3 × 3 = 3²

Então: 90 = 2 × 3² × 5

Decomposição de um número em fatores primos

Existe um método prático para encontrar o produto de fatores primos igual a qualquer número maior que 1:

Dividimos o número pelo seu menor divisor primo
Dividimos o quociente obtido pelo seu menor divisor primo, e assim sucessivamente até obter quociente 1
O número inicial é igual ao produto dos divisores que utilizámos

Exemplo:

Decomposição do número 630 em fatores primos:

Sendo assim, 630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2 × 3² × 5 × 7

Nota: no vídeo o sinal da multiplicação é representado por um ponto.

Descobrir os divisores de um número através da sua decomposição em fatores primos

Decompomos o número em fatores primos
Multiplicamos os fatores primos entre si de todas as maneiras possíveis
O número 1 (divisor de qualquer número natural), os fatores primos e os resultados obtidos através da multiplicação entre os fatores primos são todos divisores do número inicial

Exemplo:

90 = 2 × 3 × 3 × 5

2 × 3 = 6

2 × 5 = 10

3 × 3 = 9

3 × 5 = 15

2 × 3 × 3 = 18

2 × 3 × 5 = 30

3 × 3 × 5 = 45

2 × 3 × 3 × 5 = 90

Divisores de 90 = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Máximo divisor comum (m.d.c.)

No 5º ano aprendeste dois métodos para descobrir o máximo divisor de dois números (por inspeção dos divisores de cada um deles e através do algoritmo de Euclides). Agora, no 6º ano, vais aprender a utilizar a decomposição em fatores primos para descobrir o máximo divisor comum de dois ou mais números.

Sendo assim, para determinar o máximo divisor de dois ou mais números:

Decompomos os números em fatores primos
O m.d.c. vai ser igual ao produto dos fatores primos comuns de menor expoente

Exemplo:

630 = 2 × 3² × 5 × 7

100 = 2² × 5²

m.d.c. (630, 100) = 2 × 5 = 10

Através do diagrama de Venn

Para descobrir os fatores primos comuns também pode ser utilizado o diagrama de Venn:

Decompomos os números em fatores primos
Dispomos os fatores primos no diagrama de Venn (os fatores comuns ficam dentro da interseção dos dois círculos*)
O m.d.c. vai ser igual ao produto dos fatores que estão dentro da interseção dos dois círculos*

*Nota: para descobrir os fatores primos comuns de três números fazem-se 3 círculos, e assim sucessivamente.

Exemplo:

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7

100 = 2 × 2 × 5 × 5

m.d.c. (630, 100) = 2 × 5 = 10

Simplificar frações com recurso ao máximo divisor comum

Uma das aplicações do máximo divisor comum é a simplificação de frações:

Determinando o m.d.c. entre o numerador e o denominador de uma fração, se os dividirmos por esse número obtemos diretamente uma fração irredutível

Nota: se o m.d.c. entre o numerador e o denominador for 1, significa que os números são primos entre si e a fração já se encontra na forma irredutível.

Exemplo:

[math]\frac{24}{36}[/math]

24 = 2 × 2 × 2 × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3

m.d.c. (24, 36) = 2 × 2 × 3 = 12

24 : 12 = 2

36 : 12 = 3

[math]\frac{24}{36}=\frac{2}{3}[/math]

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

Também o mínimo múltiplo comum pode ser determinado através da decomposição em fatores primos:

Decompomos os números em fatores primos
O m.m.c. vai ser igual ao produto dos fatores primos comuns de maior expoente e dos fatores não comuns

Exemplo:

630 = 2 × 3² × 5 × 7

100 = 2² × 5²

m.m.c. (630, 100) = 2² × 5² × 3²× 7 = 4 × 25 × 9 × 7 = 6300

Através do diagrama de Venn:

Decompomos os números em fatores primos
Dispomos os fatores primos no diagrama de Venn (os fatores comuns ficam dentro dos dois círculos*)
O m.d.c. vai ser igual ao produto de todos os fatores dispostos nos dois círculos*

*Nota: para descobrir os fatores primos comuns de três números fazem-se 3 círculos, e assim sucessivamente.

Exemplo:

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7

100 = 2 × 2 × 5 × 5

m.m.c. (630, 100) = 2 × 5 × 3 × 3 × 7 × 2 × 5 = 6300

Problemas com m.m.c. e m.d.c.

Quando é pedido para dividir pelo número máximo

Os problemas que nos pedem para determinar o número máximo de algo, através de uma divisão, podem ser resolvidos através do máximo divisor comum.

A Maria tem 24 margaridas, 16 tulipas e 20 rosas.

Qual o número máximo de ramos iguais consegue fazer? Qual a composição de cada ramo?

m.d.c. (24, 16, 20) = 4

O número máximo de ramos iguais que consegue fazer é 4.

Para saber a composição de cada ramo basta dividir o número total de cada tipo de flores pelo m.d.c.:

Margaridas: 24 : 4 = 6
Tulipas: 16 : 4 = 4
Rosas: 20 : 4 = 5

Cada ramo terá 6 margaridas, 4 tulipas e 5 rosas.

Quando é pedido passado quanto tempo é que dois ou mais acontecimentos voltam a acontecer em simultâneo

Neste tipo de problemas, utilizamos o mínimo múltiplo comum.

Numa aldeia, a Festa do Polvo realiza-se de 6 em 6 anos, e a Festa da Sardinha realiza-se de 8 em 8 anos.

As duas festas realizaram-se em 2010. Quando é que vão voltar a realizar-se no mesmo ano?

m.m.c. (6, 8) = 24

As festas realizam-se de 24 em 24 anos. Se as duas festas realizaram-se no ano 2010, então só voltam a realizar-se no mesmo ano em 2034 (2010 + 24 = 2034).

Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:

Síntese em ficheiro pdf: clicar aqui

Síntese em vídeo e em pdf cedidos por RjasMatemática (www.matexplica.pt)

EXERCÍCIOS

Ficha 1 | enunciado | resolução (www.matexplica.pt)

Ficha 2 | enunciado | resolução (www.matexplica.pt)

Exercícios online | crivo de eratóstenes | decomposição em fatores primos

Outros | calculadora que realiza a decomposição em fatores primos

O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 6º ano:

DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES (NO6)

SUBDOMÍNIO: NÚMEROS NATURAIS

Conhecer e aplicar propriedades dos números primos

Identificar um número primo como um número natural superior a 1 que tem exatamente dois divisores: 1 e ele próprio.
Utilizar o crivo de Eratóstenes para determinar os números primos inferiores a um dado número natural.
Saber, dado um número natural superior a 1, que existe uma única sequência crescente em sentido lato de números primos cujo produto é igual a esse número, designar esta propriedade por «teorema fundamental da aritmética» e decompor números naturais em produto de fatores primos.
Utilizar a decomposição em fatores primos para simplificar frações, determinar os divisores de um
número natural e o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois números naturais.

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