Matemática 5º ano | Números naturais

NÚMEROS NATURAIS

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos números naturais representa-se por [math]\mathbb{N}[/math] e, para sabermos quais são os números naturais, basta pensar com que números começamos a contar por ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Sendo assim:

[math]\mathbb{N}[/math] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

Nota importante:

• o conjunto dos números naturais é infinito

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Números divisíveis, múltiplos e divisores

Um número diz-se divisível por outro se o segundo divide o primeiro de forma a que o resto seja 0 (divisão exata).

• 10 : 2 = 5 (resto 0), então o número 10 é divisível por 2.
• 10 : 3 = 3 (resto 1), então o número 10 não é divisível por 3.

Se um número é divisível por outro, então diz-se também que é seu múltiplo.

• 10 é divisível por 2, então o número 10 é múltiplo de 2.

Por outro lado, se um número divide outro de forma exata, então é seu divisor:

• 10 : 2 = 5 (resto 0), então o número 2 é divisor de 10.

Concluindo:

• 10 : 2 = 5 (resto 0)
  • 10 é divisível por 2
  • 10 é múltiplo de 2
  • 2 é divisor de 10

A partir da divisão acima, conseguimos ainda descobrir outras relações com outro número, pois o quociente também é divisordo dividendo:

• 10 : 2 = 5 (resto 0)
  • 10 é divisível por 2 e por 5
  • 10 é múltiplo de 2 e de 5
  • 2 e 5 são divisores de 10

Critérios de divisibilidade

No 5º ano, vais aprender alguns critérios para saber se um número é divisível por outro sem fazer a divisão.

Um número é divisível por:

• 2, se for par (se acabar em 0, 2, 4, 6 ou 8)
  • 4565 não é par, logo não é divisível por 2
  • 6548 é par, então é divisível por 2
• 3, se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 3
  • 548, cuja soma dos seus algarismos é 17 (5 + 4 + 8), não é divisível por 3
  • 85461, cuja soma dos seus algarismos é 24 (8 + 5+ 4 +6 +1), é divisível por 3
• 4, se acabar em 00 ou se os dois últimos algarismos formarem um múltiplo de 4
  • 45425 acaba em 25 que não é um múltiplo de 4, logo não é divisível por 4
  • 54536 acaba em 36 que é um múltiplo de 4, então é um número divisível por 4
  • 454500 acaba em oo, então é divisível por 4
• 5, se acabar em 0 ou 5
  • 5648 não acaba nem em 0 nem em 5, logo não é divisível por 5
  • 5640 acaba em 0, então é divisível por 5
  • 8465 acaba em 5, então é divisível por 5
• 6, se for divisível por 2 e por 3 (par e cuja soma dos algarismos é múltiplo de 3)
  • 491 nem é par nem a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3 (4 + 9 + 1 = 14), logo não é divisível por 6
  • 4624 é par (é divisível por 2) mas a soma dos seus algarismos não é um múltiplo de 3 (4 + 6 + 2 + 4 = 16), logo não é divisível por 6
  • 1596 é par e a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3, então é divisível por 2 e por 3 e, consequentemente, por 6.
• 9, se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9
  • 548, cuja soma dos seus algarismos é 17 (5 + 4 + 8), não é divisível por 9
  • 85464, cuja soma dos seus algarismos é 27 (8 + 5+ 4 +6 +4), é divisível por 9
• 10, se acabar em 0
  • 154 não acaba em 0, logo não é divisível por 10
  • 450 acaba em 0, então é divisível por 10

Nota: no vídeo também se explica o critério de divisibilidade do 8 que não precisas de saber no 5º ano.

Determinar múltiplos e divisores de um número natural

Múltiplos

Para determinar os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo por 0, 1, 2, 3, 4, …

Múltiplos de 4:

• 4 × 0 = 0
• 4 × 1 = 4
• 4 × 2 = 8
• 4 × 3 = 12
• 4 × 4 = 16
• 4 × 5 = 20
• 4 × 6 = 24
• 4 × 7 = 28
• …

Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 16, 20, 24, 28, …}

Notas importantes:

• O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito.
• O número 0 é múltiplo de qualquer número.

Divisores

Para determinar os divisores de um número podemos começar a dividi-lo por 1 até ele próprio e verificar em quais das divisões o resto foi 0.

Divisores de 10:

• 10 : 1 = 10 (resto 0)
• 10 : 2 = 5 (resto 0)
• 10 : 3 = 3 (resto 1)
• 10 : 4 = 2 (resto 2)
• 10 : 5 = 2 (resto 0)
• 10 : 6 = 1 (resto 4)
• 10 : 7 = 1 (resto 3)
• 10 : 8 = 1 (resto 2)
• 10 : 9 = 1 (resto 1)
• 10 : 10 = 1 (resto 0)

Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}

Também podemos encontrar alguns divisores de um número aplicando os critérios de divisibilidade, pois se um número é divisível por outro, significa que o segundo é divisor do primeiro.

10 é par, então é divisível por 2, então o número 2 é divisor de 10.

Notas importantes:

• O conjunto dos divisores de um número natural é finito.
• O número 1 é divisor de qualquer número.

Nota: no vídeo o número 0 é referido como número natural, mas o conjunto dos números naturais começa no número 1.

Propriedades dos divisores

Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores também é divisor do produto.

15 × 4 = 60

• 3 é divisor de 15, então também é divisor de 60
• 2 é divisor de 4, então também é divisor de 44

Se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença.

14 + 10 = 24   |   14 – 10 = 4

• 2 é divisor de 14 e de 10, então também é divisor de 24 e de 4

Numa divisão inteira, se um número divide o divisor e o resto, então também divide o dividendo.

14 : 10 = 1 (resto 4)

• 2 é divisor de 10 e de 4, então também é divisor de 14

Numa divisão inteira, se um número divide o dividendo e o divisor, então também divide o resto.

14 : 10 = 1 (resto 4)

• 2 é divisor de 14 e de 10, então também é divisor de 4

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM 

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

O mínimo múltiplo comum de dois números é, como o nome indica, o menor número que é múltiplo desses dois números (sem contar com o número 0).

Mínimo múltiplo comum de 4 e 10:

• Múltiplos de 10 = {0, 10, 20, …}
• Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, …}

M.m.c. (4, 10) = 20

Também é possível determinar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 ou mais números da mesma forma.

Nota: no vídeo é referida também outra forma de determinar o m.m.c. (através da decomposição dos números em fatores primos) que só vais aprender no próximo ano (6º ano). Podes portanto ver o vídeo apenas até aos 2,46 segundos.

Máximo divisor comum (m.d.c.)

O máximo divisor comum de dois números é o maior número que é divisor de desses dois números.

Máximo divisor comum de 4 e 10:

• Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}
• Divisores de 4 = {1, 2, 4}

M.d.c. (4, 10) = 2

Também é possível determinar o máximo divisor comum de 3, 4 ou mais números da mesma forma.

Nota: também neste vídeo é referida outra forma de determinar o m.d.c. (através da decomposição dos números em fatores primos) que só vais aprender no próximo ano (6º ano). Podes portanto ver o vídeo apenas até aos 3,45 segundos.

Algoritmo de Euclides

Outra forma de determinar o máximo divisor comum de dois números é através do algoritmo de Euclides, que segue os seguintes passos:

1. Divide-se o maior número pelo menor.
2. Faz-se uma nova divisão, agora com o divisor da conta anterior como dividendo, e o resto da conta anterior como divisor.
3. Repete-se este passo até obtermos uma divisão exata (com resto 0). O divisor dessa divisão é o máximo divisor comum.

Máximo divisor comum de 30 e 50:

• 50 : 30 = 1 (resto 20)
• 30 : 20 = 1 (resto 10)
• 20 : 10 =2 (resto 0) – o número 10 é o divisor desta divisão, então é o máximo divisor comum.

M.d.c. (30, 50) = 10

O algoritmo de Euclides apenas pode ser utilizado para determinar o máximo divisor comum de 2 números.

Nota: no final do vídeo também demonstra o que vamos explicar de seguida.

Descobrir todos os divisores comuns de dois números através do máximo divisor comum

Sabendo o máximo divisor comum de dois números, facilmente chegamos a todos os divisores comuns desses dois números: basta determinar os divisores do máximo divisor comum dos dois números.

Divisores comuns de 30 e 50:

• M.d.c. (30, 50) = 10
• Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}

Divisores comuns de 30 e 50 = {1, 2, 5, 10}

Relação entre m.m.c. e m.d.c.

O produto de dois números é igual ao produto entre o seu máximo divisor comum e o seu mínimo múltiplo comum.

a × b = m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b)

Problemas com m.m.c. e m.d.c.

Quando é pedido para dividir pelo número máximo

Os problemas que nos pedem para determinar o número máximo de algo, através de uma divisão, podem ser resolvidos através do máximo divisor comum.

A Maria tem 24 margaridas, 16 tulipas e 20 rosas. 

Qual o número máximo de ramos iguais consegue fazer? Qual a composição de cada ramo?

• Divisores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 24}
• Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, }
• Divisores de 20 = {1, 2, 4, 5, 10}
• M.d.c. (24, 16, 20) = 4

O número máximo de ramos iguais que consegue fazer é 4.

Para saber a composição de cada ramo basta dividir o número total de cada tipo de flores pelo m.d.c.:

• Margaridas: 24 : 4 = 6
• Tulipas: 16 : 4 = 4
• Rosas: 20 : 4 = 5

Cada ramo terá 6 margaridas, 4 tulipas e 5 rosas.

Quando é pedido passado quanto tempo é que dois ou mais acontecimentos voltam a acontecer em simultâneo

Neste tipo de problemas, utilizamos o mínimo múltiplo comum.

Numa aldeia, a Festa do Polvo realiza-se de 6 em 6 anos, e a Festa da Sardinha realiza-se de 8 em 8 anos. 

As duas festas realizaram-se em 2010. Quando é que vão voltar a realizar-se no mesmo ano?

• Múltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18, 24, …}
• Múltiplos de 8 = {0, 8, 16, 24, …}
• M.m.c. (6, 8) = 24

As festas realizam-se de 24 em 24 anos. Se as duas festas realizaram-se no ano 2010, então só voltam a realizar-se no mesmo ano em 2034 (2010 + 24 = 2034).

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Números primos e números compostos

• Número primo
  • tem apenas dois divisores (o 1 e ele próprio)
    • 5 é primo porque tem apenas dois divisores: 1 e 5

• Número composto
  • tem mais de dois divisores
    • 6 é composto porque tem mais de dois divisores: 1, 2, 3, 6

Nota: o número 1 tem apenas um divisor (ele próprio), por isso nem é primo nem é composto.

Números primos entre si

Dois números dizem-se primos entre si se o máximo divisor comum entre eles for igual a 1.

Serão os números 8 e 21 primos entre si?

• Divisores de 21 = {1, 3, 7, 21}
• Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8}
• M.d.c. (8, 21) = 1

Sim, 8 e 21 são primos entre si.

Notas importantes:

• Se dividirmos dois números pelo seu máximo divisor comum, obtemos dois números primos entre si.
• Se uma fração tiver numerador e denominador primos entre si, significa que é uma fração irredutível.

Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:

Síntese em ficheiro ficheiro pdf (páginas 3 e 4): clicar aqui.

Síntese em vídeo e em ficheiro pdf cedidos por RjasMatemática. 

EXERCÍCIOS

Em breve

O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 5º ano:

DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES

SUBDOMÍNIO: NÚMEROS NATURAIS

• Conhecer e aplicar propriedades dos divisores:

1. Saber os critérios de divisibilidade por 3 , por 4 e por 9.
2. Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles.
3. Reconhecer que num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto.
4. Reconhecer que se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença.
5. Reconhecer, dada uma divisão inteira, que se um número divide o divisor e o resto então divide o dividendo
6. Reconhecer, dada uma divisão inteira, que se um número divide o dividendo e o divisor então divide o resto.
7. Utilizar o algoritmo de Euclides para determinar os divisores comuns de dois números naturais e, em particular, identificar o respetivo máximo divisor comum.
8. Designar por «primos entre si» dois números cujo máximo divisor comum é 1.
9. Reconhecer que dividindo dois números pelo máximo divisor comum se obtêm dois números primos entre si.
10. Saber que uma fração é irredutível se o numerador e o denominador são primos entre si.
11. Identificar o mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles.
12. Saber que o produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum e utilizar esta relação para determinar o segundo quando é conhecido o primeiro, ou vice-versa.

• Resolver problemas

1. Resolver problemas envolvendo o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais.

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