Matemática 5º ano | Números racionais não negativos

 

NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS

 

 

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

 

O conjunto dos números racionais representa-se pelo símbolo [math]\mathbb{Q}[/math], e para saber se um número é racional basta verificarmos se conseguimos colocá-lo na forma de fração.

 

Mas o que é uma fração? Já aprendeste no 1º ciclo, mas vamos rever já a seguir!

 

Neste capítulo, não vamos ainda trabalhar com números negativos, por isso o nome deste capítulo é: números racionais não negativos.

 

 

 

FRAÇÕES

 

O que é uma fração?

Uma fração pode ser vista como parte de um todo.

 

[math]\frac{3}{5}[/math]

A fração acima representa 3 partes de uma unidade dividida em 5 partes iguais.

  • Leitura: três quintos
  • Termos da fração:
    • Numerador: três
    • Denominador: cinco

 

 

 

Simplificação de frações

Para simplificar frações, temos de dividir os dois termos pelo mesmo número.

Quando já não é possível simplificar mais uma fração, diz-se que é uma fração irredutível.

 

[math]\frac{16}{10} = \frac{8}{5}[/math]

Na fração acima, tanto o numerador como o denominador foram divididos por 2. Neste caso, obtivemos uma fração irredutível pois já não é possível simplificar mais.

 

Nota: no vídeo é referida uma forma direta de simplificar frações. Para simplificar de forma direta uma fração para fração irredutível, dividem-se os dois termos pelo seu máximo divisor comum. Para saber mais sobre o máximo divisor comum clica aqui.

 

 

Frações equivalentes

Para obter uma fração equivalente a uma fração dada, basta multiplicar os dois termos pelo mesmo número.

A partir de uma fração podemos obter infinitas frações equivalentes.

 

[math]\frac{3}{5} = \frac{6}{10}[/math]

Na fração acima, tanto o numerador como o denominador foram multiplicados por 2. 

 

 

 

Ordenar frações

Frações com o mesmo denominador

  • é maior a que tiver maior numerador
[math]\frac{5}{8} > \frac{2}{8}[/math]

 

Frações com o mesmo numerador

  • é maior a que tiver menor denominador
[math]\frac{5}{8} < \frac{5}{3}[/math]

 

Frações com numeradores e denominadores diferentes

  • igualam-se os denominadores de forma a obtermos frações equivalentes às dadas, e verificamos qual a que tem maior numerador
    • para igualar denominadores de duas frações basta multiplicar os termos de cada fração com o denominador da outra fração
[math]\frac{5}{8} ?\frac{3}{2}[/math]

 

[math]\frac{5}{8} = \frac{10}{16}[/math]      os dois termos foram multiplicados por 2

[math]\frac{3}{2} = \frac{24}{16}[/math]       os dois termos foram multiplicados por 8

[math]\frac{10}{16} < \frac{24}{16}[/math]      a segunda fração é a que tem maior numerador, então é a maior

 

[math]\frac{5}{8} < \frac{3}{2}[/math]

 

Nota: no vídeo é dado um exemplo com mais de duas frações com numeradores e denominadores diferentes. Nesse caso, para igualar os denominadores, temos de encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores de todas as frações. Para saber mais sobre o mínimo múltiplo comum clica aqui.

 

 

Frações próprias e frações impróprias

Uma fração própria:

  • tem denominador maior que o numerador
  • é menor que a unidade
[math]\frac{5}{8}< 1[/math]

 

Uma fração imprópria:

  • tem numerador maior que o denominador
  • é maior que a unidade
[math]\frac{8}{5}>1[/math]

 

Frações com numerador e denominador iguais são iguais à unidade.

[math]\frac{5}{5}=1[/math]

 

 

Frações decimais

 

O que são frações decimais 

Frações decimais são frações que têm como denominador os números 10, 100, 1000, 10000, etc…

[math]\frac{23}{10}[/math]     lê-se 23 décimos

[math]\frac{23}{100}[/math]     lê-se 23 centésimos

[math]\frac{23}{100}= 2,3[/math]     lê-se 23 milésimos

 

Passar de fração decimal para número decimal

Para converter uma fração decimal para número decimal, basta escrever o numerador com tantas casas decimais quantos forem os zeros que se encontram no denominador.

[math]\frac{23}{10}= 2,3[/math] [math]\frac{23}{100}= 0,23[/math] [math]\frac{23}{100}= 0,023[/math]

 

Passar de número decimal para fração decimal

Para converter um número decimal para fração decimal, basta escrever no numerador o número sem vírgulas, e no denominador colocamos tantos zeros quantas casas decimais tiver o número decimal.

[math]125,23=\frac{12523}{100}[/math]

 

 

 

Operações com frações

 

Adição e subtração de frações

Para adicionar ou subtrair frações:

  1. igualamos os denominadores
  2. somam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum

 

[math]\frac{8}{5}+\frac{3}{5}=\frac{11}{5}[/math] [math]\frac{8}{5}-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}[/math]

 

Nota: no vídeo é dado um exemplo de uma soma com mais de duas frações, com numeradores e denominadores diferentes. Os denominadores foram igualados através do seu mínimo múltiplo comum. Para saber mais sobre o mínimo múltiplo comum clica aqui.

 

Multiplicação e divisão de frações

Para multiplicar frações:

  • multiplicam-se os numeradores e os denominadores

 

[math]\frac{8}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}[/math]

 

 

Para dividir frações tens de saber 3 métodos:

1º método:

  • multiplica-se o numerador pelo denominador da segunda fração e divide-se o denominador pelo numerador da segunda fração.

 

[math]\frac{8}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{32}{15}[/math]

 

2º método:

  1. inverte-se a segunda fração (troca-se a ordem do numerador e do denominador) e a conta passa para vezes.
  2. multiplicam-se os numeradores e os denominadores

 

[math]\frac{8}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{8}{5}\times\frac{4}{3}=\frac{32}{15}[/math]

 

3º método (apenas quando os denominadores são iguais)

  • divide-se apenas o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração

 

[math]\frac{8}{5}\div\frac{4}{5}=2[/math] [math]\frac{8}{5}\div\frac{7}{5}=\frac{8}{7}[/math]

 

Nota: no vídeo o sinal da multiplicação (×) é representado por um ponto (.)

 

 

 

NUMERAIS MISTOS

 

O que é um numeral misto?

Quando uma fração representa mais que uma unidade, pode ser representada na forma de numeral misto. Um numeral misto é constituído por uma parte inteira e uma parte decimal representada em fração.

 

Sendo assim, apenas as frações impróprias podem ser representadas na forma de numeral misto.

 

Passar de fração imprópria para numeral misto

  1. Decompõe-se a fração numa soma com frações que representam uma unidade e com uma fração que representa a parte que não chega à unidade
  2. Escreve-se a parte inteira (é o número de frações que representam uma unidade) e a parte decimal (é a fração que não chega à unidade).

 

[math]\frac{8}{3}=\frac{3}{3}+\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}[/math]

 

Passar de numeral misto para fração imprópria

  1. Multiplica-se a parte inteira pelo denominador da fração e soma-se esse resultado com o numerador
  2. Acrescenta-se um denominador igual à da fração do numeral misto

 

[math]5\frac{2}{3}=\frac{5\times 3+2}{3}=\frac{17}{3}[/math]

 

Nota: no vídeo os numerais mistos são designados como números mistos ou forma mista de uma fração.

 

 

Operações com numerais mistos

 

Adição de numerais mistos

Para adicionar numerais mistos, somam-se as partes inteiras e somam-se as partes decimais.

 

[math]5\frac{2}{3}+3\frac{1}{2}= (5+3)+(\frac{2}{3}+\frac{1}{2})=8+(\frac{4}{6}+\frac{3}{6})=8\frac{7}{6}[/math]

 

 

Subtração de numerais mistos

 

Para subtrair numerais mistos, subtraem-se as partes inteiras e subtraem-se as partes decimais.

[math]5\frac{2}{3}-3\frac{1}{2}= (5-3)+(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=2+(\frac{4}{6}-\frac{3}{6})=2\frac{1}{6}[/math]

 

 

 

VALORES APROXIMADOS E ARREDONDAMENTOS

 

Fração como quociente

As frações também podem ser entendidas como o quociente entre dois números (o numerador e o denominador).

 

[math]\frac{4}{2}=4:2[/math]

 

Converter frações não decimais para números decimais

Já vimos como se convertem frações decimais em números decimais. Mas se as frações não forem decimais, podemos então fazer a divisão do numerador pelo denominador para obter o número que representa.

 

[math]\frac{4}{2}=4:2=2[/math]     neste caso, pode ser representada na forma de número inteiro

[math]\frac{5}{2}=5:2=2,5[/math]     neste caso, pode ser representada na forma de número decimal

 

Nota: no vídeo deram-se exemplos de frações que representam números decimais que têm infinitas casas decimais (diz-se que é uma dizima infinita periódica, pois existem alguns algarismos que se repetem até ao infinito). De seguida, vamos aprender como representar esses números decimais.

 

Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento

 

[math]\frac{1}{3}=1:3=0,3333333333…[/math]     neste caso, o algarismo 3 repete-se até ao infinito

 

Podemos representar este número decimal por várias formas:

  • Pela sua forma exata
    • coloca-se o(s) algarismo(s) que se repete(m) em parênteses
      • 0,(3)

 

  • Por uma aproximação por defeito
    • escreve-se o número até um determinado número de casas decimais, sem alterar qualquer algarismo
      • 0,3 – aproximação por defeito às décimas (com 1 casa decimal)
      • 0,33 – aproximação por defeito às centésimas (com 2 casas decimais)
      • 0,333 – aproximação por defeito às milésimas (com 3 casas decimais)

 

  • Por uma aproximação por excesso
    • escreve-se o número até um determinado número de casas decimais, somando um ao último algarismo
      • 0,4 – aproximação por excesso às décimas (com 1 casa decimal)
      • 0,34 – aproximação por excesso às centésimas (com 2 casas decimais)
      • 0,334 – aproximação por excesso às milésimas (com 3 casas decimais)

 

  • Por arredondamento
    • escreve-se o número até um determinado número de casas decimais, por defeito ou por excesso, dependendo do algarismo a seguir a ser eliminado (se for menor que 5, faz-se uma aproximação por defeito, mas se for maior ou igual a 5, faz-se uma aproximação por excesso)
      • 0,3 – arredondamento às décimas (com 1 casa decimal) – não se alteram os algarismos porque o algarismo da casa seguinte é o 3, que é menor que 5
      • 0,33 – arredondamento às centésimas (com 2 casas decimais) – não se alteram os algarismos porque o algarismo da casa seguinte é o 3, que é menor que 5
      • 0,333 – arredondamento às milésimas (com 3 casas decimais) – não se alteram os algarismos porque o algarismo da casa seguinte é o 3, que é menor que 5

 

Os valores aproximados e arredondamentos podem ser feitos para qualquer número.

 

Outro exemplo:

154,12575611894

  • Valor aproximado por defeito
    • às unidades: 154
    • às décimas: 154,1
    • às centésimas: 154,12
    • às milésimas: 154,125
  • Valor aproximado por excesso
    • às unidades: 155
    • às décimas: 154,2
    • às centésimas: 154,13
    • às milésimas: 154,126
  • Arredondamento
    • às unidades: 154 (porque a seguir o algarismo é o 1, que é menor que 5)
    • às décimas: 154,1 (porque a seguir o algarismo é o 2, que é menor que 5)
    • às centésimas: 154,13 (porque a seguir o algarismo é o 5, que é igual a 5)
    • às milésimas: 154,126 (porque a seguir o algarismo é o 7, que é maior que 5)

 

 

 

 

PROBLEMAS 

 

Resolução de problemas que envolvem operações com números racionais (representados por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos)

 

Fração de um todo

Nos problemas em que se diz uma parte de um todo, podemos substituir a palavra “de” pelo sinal da multiplicação (×), e assim obtemos um produto que representa essa mesma parte.

 

Cinco terços de 30

[math]\frac{2}{5}\times30=\frac{60}{5}=12[/math]

Então, cinco terços de 30 são 12.

 

Nota: no vídeo é utilizado outro método, em que primeiro se divide o todo pelo denominador e depois esse resultado é multiplicado pelo numerador da fração. Os dois métodos podem ser utilizados.

 

Percentagens

Uma fração também pode representar uma percentagem.

 

As frações com denominador 100 são as mais fáceis para passar para percentagem:

[math]\frac{25}{100}=25\%[/math]

 

Para passar outras frações para percentagem, existem vários métodos:

  • Algumas frações são equivalentes a uma fração com denominador 100, então só temos que descobrir que fração é essa.
[math]\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}=40\%[/math]

 

  •  Mas nem todas as frações são equivalentes a frações com denominador 100. Nesse caso, primeiro passamos para número decimal e depois multiplicamos esse número por 100.
[math]\frac{2}{3}=0,6666…=66,66…\%[/math]

 

Nota: no vídeo percentagem é designada por porcentagem, e o sinal de multiplicação (×) é representado por um ponto (.)

 

Mais problemas

 

 

 

 

Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:

Em breve

 

 

EXERCÍCIOS

Em breve

 

 

O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 5º ano:

 

DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES (NO5)

SUBDOMÍNIO: NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS

 

  • Efetuar operações com números racionais não negativos
  1. Simplificar frações dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade.
  2. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são respetivamente equivalentes.
  3. Ordenar duas quaisquer frações.
  4. Reconhecer que       (sendo a, b, c e d números naturais).
  5. Reconhecer que       (sendo a, b, c e d números naturais e   [math]\frac{a}{b}\geq \frac{c}{d}[/math]
  6. Identificar o produto de um número racional positivo q por     [math]\frac{c}{d}[/math]     (sendo c e d números naturais) como o produto por c do produto de q por     [math]\frac{1}{d}[/math]     , representá-lo por     [math]q\times \frac{c}{d}[/math]     e     [math]\frac{c}{d}\times q[/math]     e reconhecer que         (sendo a e b números naturais).
  7. Reconhecer que     [math]\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}= \frac{a}{b}\times \frac{d}{c}[/math]     (sendo a, b, c e d números naturais).
  8. Designar por «fração irredutível» uma fração com menores termos do que qualquer outra que lhe seja equivalente.
  9. Representar números racionais não negativos como numerais mistos.
  10. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas, com eventual transporte de uma unidade.
  11. Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento, com uma dada precisão.
  • Resolver problemas
  1. Resolver problemas de vários passos envolvendo operações com números racionais representados
    por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos.

 

 

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